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相乗平均とは?

相乗平均(Geomean関数)についての説明です。以下は、あるレッスンでのレッスンノートに書ききれなかった分ですが、一般的な話題でもありますのでブログとして載せることにしました。

まず関数一般についてですが、中高の数学の教科書などでは、y=F(x)という関数の一般式を「yはxの関数になっている」という言い方で紹介しています。
これは難しい言い方で(と思います)、これだと普通の感覚では「yはxについての関数である」と読めて、関数というのがyのことのように思えます。

しかし何度もよ~く考えながら読むと、これは「yはxの【関数】になっている」ではなくて、「yは【xの関数】になっている」、つまり「yは【xをF化したもの】になっている」と読めてきます。そうするとこの言い方は、yと【xの関数】F(x)は等しい、というy=F(x)をそのまま表現したものにほかならず正確なものであることがわかってきます。つまり関数はyではなくFのことですね。

Sum()、Average()、Geomean()といったExcelの関数は、まさにこのF(x)の形そのままで、カッコの中に入れた引数がSum化(合計)されたり、Average化(平均)されたり、Geomean化(平均)されたりしてyとなる、つまりセルに表示する答えとなるということになります。
Excelの関数というのはすべてこの構造ですので、関数のイメージが掴めたらあとは一つ一つの関数記号の働きと引数の書き方を理解していけばよいということになります。(引数の書き方は、関数ごとに定められていますので、これは一つ一つExcelヘルプや本やネットで調べなければなりませんが。)このため、Excelの関数をマスターするためには5個から10個程度の代表的な関数を学べばよいというのが当レッスンの方針になっています。

さて、Geomean関数ですが、これは「相乗平均」という平均値を得る関数です。しかしこの相乗平均という考えはなじみがなく少し理解が難しいものです。通常、平均というと、2つの値を足して2で割るというように、元の値を足して割る「相加平均」のことを指しますが、平均には元の値を掛けてその累乗根(2乗根、3乗根…)を取るこの「相乗平均」もあります。

例えば4と9の平均は6.5と考えるのが普通ですが、これはこれら2つの値が、例えば長さのような、足すことで意味を得るような種類の値であるということが暗黙のうちに前提されているということがいえます。

しかし4と9が、かけ算することで意味があるような数値であった場合、例えばそれらが、ある長方形の土地の短辺と長辺であったような場合に、この「長方形における2つの辺の平均」というのはどう考えるのでしょうか。
この平均を相加平均の6.5とすると、この平均値によって得られる土地は一辺が6.5の正方形の土地ということになりますから、その土地の面積は元の土地の面積と違ってきてしまいます。これでは何かおかしいですね。

そこでこのように、かけ算や割り算がベースになっている値については、相乗平均を平均値として採用します。すると4×9=36の平方根である6が平均値となり、一辺が6の正方形の土地の面積は36ですので元の土地の面積と等しさが保たれます。

実は、先の相加平均6.5を2倍して得られる13という値は、元の値である4と9の和に他なりません。つまり「平均値を元にして再計算された値は、元の値を使って計算された値と同じでなければならない」ということが、平均値という概念の基礎にあります。
この原則が、足し引きをベースにしている値だけではなく、掛ける割るをベースにしている値についても同様に生きていなければならないということですね。そのため、幾何学的な平均や、前年比伸び率の平均など、乗除計算を前提としている値の平均値というのは相乗平均でなければならないということなのです。

 

(2017年10月5日(木) 7:33)

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